のっぽさんの勉強メモ

主に中学の学習内容を扱っています。不定期更新ですー。

1/18 算数+英:図形/「3+3=4」のフシギな計算!

【本記事は誤りを含みます。訂正内容については以下の記事をご覧ください】
benkyoumemo.hatenablog.com


 算数の話ー。
 「変な数学」シリーズ。
 変なタイトルでお送りしていますが、計算ミスではありません。
 要は「三角形と三角形を合体させると四角形になるぜ!」という話なのです。
 なので後で「4+3=5」とかの変な計算も出てきます。


 その前におさらい。
 三角形(さんかっけい)は三つの角、三つの辺を持つ図形、
 四角形(しかっけい)は四つの角、四つの辺を持つ図形でございます。
 んで、角を多く持つ図形のことを「多角形(たかっけい)」というわけですが。

 小学校とかで
 「多角形の頂点から対角線引いた時、できる三角形の数は辺の数(または角の数)ー2」
 ってのを習った方も多いと思います。
 そのまま覚えてもいいんですが、今回は逆に考えてみましょう。
 あ、勝手に考えたことなんで分かりづらいです。ご容赦を。


 四角形を2つに割ると、三角形が2つできます。
 三角形Aと三角形Bができるわけですが、
 この時、対角線を引いて割ったところの線、つまり「くっついてた辺」同士は、当然ながら同じ長さです。

 逆に考えると、1つ辺の長さが同じ三角形A・Bがあれば、四角形を作ることができます。
 同じ長さの辺同士をくっつけると、四角形になる訳ですな。

 んで、単純に考えると
 「3つの角と3つの角なら、3+3=6で6角形になるんじゃねーの?」と考えることもできます。
 なのに実際には、3つの角+3つの角=四角形(4つの角)ということになっています。
 この「角」はどこで減ってしまったのか。

 この時、合体させた三角形Aと三角形Bの「角」に注目すると、
 辺をくっつけた時に、その両端の「角」が2個、他の角と重なり合ってるんですね。
 重なってしまったら点は「1つ」としてカウントされてしまいます。
 だから「3つの角」と「3つの角」ー「2つの角が重なって消えたこと」=「四角形(4つの角)」
 ということになってるんですね。

 もし三角形の頂点同士をくっつけて「砂時計型」にしたら、角は3+3=6(もしく先だけ重なって5つ?)となるのですが、
 それは「多角形」とはまた違う図形になってしまいます。
 逆に言えば、多角形である以上、必ずどっかで「角が重なって減ってる」部分があるとも考えられます(多分)。

 これは「五角形」作る時でも同じことが言えます。
 上の三角形+三角形の時と同じように、
 「四角形」のある辺に、同じ長さの辺を持つ三角形を足して「五角形」にすることができるわけです。

 この時、「のり」とかを使う「工作」を思い浮かべてくれればいいのですが、
 「重なったのりしろの部分」みたいな感じで、「辺が2つ重なる」ということが起きている。
 上で書いたことの繰り返しになりますが、
 辺の両端には「2つの頂点」、つまり「2つの角」がありますので、両辺合わせると4つずつ。
 この時一緒に使われて、1つに重なり(片方消え)、「2つ」になるんですね。
 だから三角形を足しているのに、「すでにある角に重なった角」が2つもあるから、結果1つしか角の数が増えない(四角形+三角形→五角形)。
 逆に言えば、三角形を四角形に足すということは「三角形の底辺をのりしろに使って、新しく一つ角を足す」みたいな作業だといえます。


 上記のことは「1回三角形を足す(合体させる)たびに角の数がー2される」とも言えます。
 んで、最初の方に挙げた「多角形の頂点から対角線引いた時、できる三角形の数は辺の数ー2」
 ってのを振り返ると、こうとらえることができます。

 四角形:4ー2=2で2つの三角形
 →3+3(ー2)=4、だから四角形。

 五角形:5-2=3で3つの三角形
 →「3+3+3」なのだが、1回の「合体」につき角を2消費するので
 「3+3+3(-2-2)=9-4=5」、だから五角形。

 みたいな感じでとらえることもできます。

 
 どうでしょう。
 まあ適当なことを言って勝手にこねくり回しちゃっただけですが、
 見方を変えると結構面白くもあるものです。

 僕は図形が苦手なので
 「のりしろ」ってイメージを図形に結び付けられたことはちょっと収穫ですね。

 苦手な人は「何かいいイメージないか?」と色々考えてみてもいいかもしれません。

 まあそんな感じで~。



 あと今回、算数・図形の英単語を調べたりしたので以下に載せておきます。
 『小学生のための考える算数 図形と計量』(学研)を参考にしつつ。


◆英単語集

・角度(かくど)…angle(アングル)
 カメラなどで撮影するときも「いいアングル」とか言ったりしますが、要はこの角度のことです。

・直角(ちょっかく)…「right angle(ライト・アングル)」
 直角を意味する「right(ライト)」は「正しい」という意味を持つ単語でもあります。
 直角は「きちっとした角度」ってことですね。
 角度にすると「90°」になります

・辺(へん)…side(サイド)
 図形を作ってる線。ただの線ではなく、図形の一部である。

・頂点(ちょうてん)…apex(エイペックス)、vertex(ヴァーテックス*1
 ざっくり言うと図形の隅(すみ)の点。「角(かく)」と重なっていることが多いです。

・直線(ちょくせん)…「straight line(ストレート・ライン)」
 まっすぐな線。日常でもよく使う言葉ですね。
 「線分(せんぶん)」と比べる場合は、
 「線分」がある限られた距離の線(有限)であるのに対し、
 直線は放っておくとどこまでも伸びていく線(無限)となっています。

・対角(たいかく)…「opposite angle(オポズィット・アングル)」
 互いに向かい合う角。
 正四角形だとちょうど斜めに引いた線がこれになります。

・対角線(たいかくせん)…「diagonal line(ディアゴナル・ライン)」
 多角形で、ある頂点からある頂点まで伸ばした線(ただし辺は除く)。
 角が多ければ多いほどたくさん引ける。
 四角形だと2本、五角形だと5本、六角形だと9本。

・三角形(さんかっけい)…「triangle(トライアングル)」
 3つの角を持つ図形。
 「tri(トリ)」は「3つの」という意味です。「三つの(tri)」+「角(angle)」ということですね。

・四角形(しかっけい)…「quadrilateral(クアドリラテラル)」
 4つの角を持つ図形。多角形。
 「quad(クアッド)」(もしく「quadri」?)というのが「4」を表しています。

・五角形(ごかっけい)…「pentagon(ペンタゴン)」
 5つの角を持つ図形。
 アメリカの国防総省(こくぼうそうしょう)の建物も五角形をしており、ペンタゴンと呼ばれています。

・六角形(ろっかっけい)…hexagon(ヘクサゴン)
 6つの角を持つ図形。
 昔テレビで「クイズ・ヘキサゴン」という番組がありましたが、出演者が六角形の椅子に座ることが由来です。
 あと戦略系シミュレーションゲームだと六角形のマスを「hex(ヘクス)」と呼びます。
 関連用語:「DHA(ディーエイチエー)」*2

・多角形(たかっけい)…「polygon(ポリゴン)」
 たくさんの角がある図形。
 ちなみにゲーム『ポケモン』にもポリゴンというモンスターが出てきます。
 人工ポケモンなので、カクカクした外見です。
 昔の3D技術はあまり高くなかったので、ゲームでもキャラクターの顔も球ではなく、「多角形」で表していました。
 初期の「プレイステーション」や「セガサターン」などの格闘ゲームの画像を見るとよくわかると思います。

・直角三角形(ちょっかくさんかっけい)…「right triangle(ライト・トライアングル)」
 角の一つに「直角(ちょっかく)/90°」を持つ三角形。

二等辺三角形(にとうへんさんかっけい)…「isosceles triangle(アイサスィリーズ・トライアングル)」
 二つの辺が等しい三角形。ちなみに「底角(ていかく)」もそれぞれ等しい。
 左右対称型になり、そういう意味では美しい感じになる。

・正三角形(せいさんかっけい)…「equilateral[reguler] triangle(エクイラテラル【またはレギュラー】・トライアングル)」
 三つの辺も角も等しい三角形。
 「レギュラー」も「正しい」という意味を含みます。

・台形(だいけい)…「trapezoid(トラぺゾイド)」

・平行四辺形(へいこうしへんけい)…「parallelogram(パラレログラム)」
 下で書きますが「parallel(パラレル)」というのが「平行」という意味です。
 それに関係した言葉ですね。

・長方形(ちょうほうけい)…「rectangle(レクタングル)」、「oblong(オブロング)」

・ひし形(菱形)…「diamond(ダイアモンド)」*3、「lozenge(ロゼンジ)」、「rhombus(ランバス?)」
 野球とかでもあの四角形の線を引いたフィールドとかを「ダイアモンド」とか言ったりする気がします。
 関連用語:「菱餅(ひしもち)」*4

・正方形(せいほうけい)…square(スクエア)
 全ての辺も角も等しい四角形。正四角形のこと。

・垂直(すいちょく)…perpendicularity(パーペンディキュラリティ)、vertically(ヴァーティカリィ)。
 「垂直な」は「vertical(ヴァーティカル)」。


・平行(へいこう)…「parallelism(パラレリズム)」
 二つの直線が、どこまで行っても交わらない関係。
 「平行な」は「parallel(パラレル)」
 よくアニメとかで「パラレルワールド」ってのが出てきますが、あれは「平行世界」ってことですね。
 関連用語:「パラリンピック*5

・内角(ないかく)…「interior angle(インテリア・アングル)」

・外角(がいかく)…「exterior[external] angle(エクステリア【またはエクスターナル】・アングル)」

・錯角(さっかく)…「alternate (interior) angle(オルタネイト・(インテリア)・アングル)」
 家具関連で「インテリア」「エクステリア」という言葉があるように、インテリアは「内側の」、エクステリアは「外側の」という意味です。


おまけ

・円(えん)…circle(サークル)
 丸い形の図形。

・中心(ちゅうしん)…center(センター)
 あるものの真ん中。
 センターは「中央」という意味を含み、アイドル*6関連ではよく「誰がセンターに来るか」が重要になるようです。

・弧(こ)…arc(アーク)
 円の中の一部。ざっくり言うと図形の中の綺麗に丸まった部分。
 「アーチ(arch)」*7という語とも関係しています。

・半径(はんけい)…radius(ラディウス)
 円の縦あるいは横幅の半分の長さ。

・直径(ちょっけい)…diameter(ダイアメーター)
 円の立てあるいは横の幅。

・球(きゅう)…「sphere(スフィア)」、「globe(グローブ)」
 丸まった物体。三次元。
 地球*8は球形なので、地球のことも「globe」ということがあります。よく「グローバル」(世界的な)というのはそっから来ているわけですね。
 ただ実は地球は真球形ではなく、ちょっとラグビーボールみたいな楕円形になってるという話も聞きますが。

・コンパス*9…「compasses(コンパシィズ)」

・分度器(ぶんどき)…「protracter(プロトラクター)」

・ものさし…「ruler(ルーラー)」*10
 または「定規(じょうぎ)」ともいう。

benkyoumemo.hatenablog.com

benkyoumemo.hatenablog.com

*1:音楽曲「vertex」については 10/6 音楽:またまた音楽メモ(ゲーム系) - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*2:「DHA(ディーエイチエー)」については 7/8 社+英:「EPA」とか「FTA」とかのメモ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*3:宝石の「ダイヤモンド」については 5/19 英+理:炭酸とカルボナーラ! ~日常に溢れる「炭」成分~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*4:菱餅(ひしもち)」については 4/21 社+生:とりま「トッポギ」で「トッポギ」!? ~韓国料理と若者言葉~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*5:パラリンピック」については 5/27 体+英:「もう一つの」オリンピック! ~「パラリンピック」の話~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*6:「アイドル」については8/20 英語:二つのアイドル ~idolとidle~ - のっぽさんの勉強メモ参照。

*7:「アーチ」「アーチャー」については 3/30 英語:特定のアルファベットを狙い撃ちにする! - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*8:「地球(ちきゅう)」については http://benkyoumemo.hatenablog.com/entry/2015/12/22/12/22_%E7%90%86%E7%A7%91%EF%BC%9A%E5%9C%B0%E7%A3%81%E6%B0%97%EF%BC%88%E3%81%A1%E3%81%98%E3%81%8D%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%A9%B1 を参照。

*9:「コンパス」については 5/7 英+数:「文房具(ぶんぼうぐ)」と「方位磁石(ほういじしゃく)」! ~「コンパス」の話メモ(軽く)~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*10:「ものさし」「定規」については 11/28 英語:ruler/「定規(じょうぎ)」と「支配者(しはいしゃ)」の関係! - のっぽさんの勉強メモ も参照。