数学の話ー。
数学の「最小公倍数（さいしょうこうばいすう）」*1や「最大公約数（さいだいこうやくすう）」の逆の
「最大公倍数（さいだいこうばいすう）」や「最小公約数（さいしょうこうやくすう）」はあるのか？というのを考えてみる話です。
一応（自分にとって変わってて面白いという意味で）「変な数学」シリーズです。
前置き。
まずは下敷きとなる、しばらく「倍数（ばいすう）」などの話を①で。
分かってるぜ！という方は下の方の「②」から読んで大丈夫です。
①まずは倍数（ばいすう）とかのおさらい
小中学校の数学などでは「倍数（ばいすう）」や「約数（やくすう）」といったものを習うかと思います。
「倍数（ばいすう）」はある数を２倍とか３倍とかにしていった数のことで、
（例：６の倍数は６、１２、１８、２４など）
「約数（やくすう）」はある数を綺麗に割りきれる整数（せいすう）のことですね。
（例：６の約数は１、２、３、６）
倍数・約数のどちらも「整数（せいすう）」、つまりキッチリした数なので、小数や分数などは入りません。
※なお、「負の約数」、つまりマイナスの数（「－１」など）なども含むみたいなのですが、今回は分かりやすくするために主に「プラスの整数」で考えています。すみません。
で、２つ以上の数についての倍数や約数をそれぞれ「公倍数（こうばいすう）」や「公約数（こうやくすう）」といいます。
例えば、「２と３の公倍数」は、２・３どちらにも共通する「倍数」なので、
「６」や「１２」、「１８」ということになります。
で、「２と６の公約数」は、２・６どちらもきれいに割れる数なので、
「１」や「２」となるわけですね。
で、それぞれのうち、
最も小さい公倍数を「最小公倍数（さいしょうこうばいすう）」と言い、
（例：２と３の公倍数は６、１２，１８…なので最も小さいのは「６」。
なのて、２と３の最小公倍数は６）
最も大きい公約数を「最大公約数（さいだいこうやくすう）」と言います。
（例：６と２の公約数は２、１。なので最も大きいのは２。
なので、６と２の最大公約数は２）
何でこんなことを考えなければならないか？というと、
主にグループにものを配る時に役に立ったりします。
例えば「６個入りのお菓子Ａ」と「１０個入りのお菓子Ｂ」があって、両方の数をきっちり揃えておきたいとしましょう。
そこで「６×１０＝６０か…」と思って、それぞれ「６０個」になるよう買っておいてもいいのですが。
「最小公倍数」の考え方を使えば、「３０個」が６と１０の最小公倍数だとわかりますので、
それぞれ「３０個」になるようにお菓子を買えばいいとわかります。買う量を半分に減らせましたね。
（すみませんが「最大公約数」のネタは思いつかなかったのでまた今度）
②「最大公倍数」や「最小公約数」について考えてみる話
で、「最小公倍数」や「最大公約数」といった言葉はまだ聞きなれているかもしれませんが、
ではそれぞれの逆の「最大公倍数（さいだいこうばいすう）」や「最小公約数（さいしょうこうやくすう）」といったものはあるのか？
というのをちょっと考えてみました。
（ネット上の資料などは見ずに、まずは自分でもにょもにょ考えてみました。その後に調べて「負の約数」のあたりを知った感じです）
Ａ、「最大公倍数（さいだいこうばいすう）」について
これはぶっちゃけ決められないと思われます。
というのも、数は上の方には「無限（むげん）」に増えていくので、
「２と３の公倍数で最大のものは何か？」と考えたときにも、
「６、１２、１８、１４…（略）…６０００００…（略）…６０兆…」みたいな感じでずっと続けてられてしまいます。
ただ、数が変化する範囲が決まっていれば話は別です。
数学で習う「変域（へんいき）」というやつですね。
無限に増える中で「最大公倍数」は決められませんが、
例えば「１００までの間で、２と３の公倍数で最大のものは何か？」と考えることはできます。
この場合は「９６」とかになるのではないかと。
なので、「何もなしに最大公倍数は決められないが、範囲を決めれば決められる」みたいなのが答えではないかと思います。
ちなみに「マイナスの倍数」を考えれば「マイナスの公倍数」などもありえるでしょうが、
マイナスのまま絶対値が大きくなると、数的には「小さく」なっていくので（「－６０億」とかはすごい小さい数扱い）、
「最大公倍数」の範囲にはあまり入ってこないかと思われます。
Ｂ、「最小公約数（さいしょうこうやくすう）」について
では、「最小公約数」の場合はどうか？「最大公倍数」のように、こちらもまずは無限に続くのか？
と思わせて、実はこちらの答えはシンプルに「１」ではないかと思われます。
（※マイナスの数については後述）
何故かというと、「約数」という物の条件が「整数（せいすう）」であることなんですね。
つまり「０．１」などの小数や「１／２」などの分数ではダメってことです。
すると最小の整数であり、色んな数の約数になれる、「１」が答えになる…ということではないかと思います。
ちなみにもし分数や少数もアリなら、たぶん割り算は無限に続けられるので、
「最小公約数」も１つには決まらなかったと思われ余す。
あと冒頭で書いたように「マイナス」を範囲に含めるならば、約数には「ー１」などの負の整数が入ってきますので、
例えば「２と６の最小公約数」は （負の整数も含めれば）「－２」ということになるかもしれません。
感覚的にはまず普通の公倍数とかを出して、それの符号を変える感じですかね。
ただ約数などの条件の、「数を綺麗に割り切れる」という時に、「答えの符号を変えないまま」という、暗黙の条件がある場合は、
マイナスの数が最小公約数というのは、「数学的にはあっているけれど不適切」ということになるかもしれません。
（例えば日常で物を分け合う時に「約数」などと言った時には、多分答えにマイナスは入ってこないですね）
まあそれは数自体の問題というよりも、むしろ「最大公倍数」で書いた「変域（へんいき）」などの範囲決めの問題かもしれません。
色々ややこしいですが、なかなか興味深いです。
※ ※ ※
…みたいな感じですね。
まあ「何に役に立つのか？」と聞かれると難しいですが、たまに色々考えてみるのも面白いです。
特に教科書で習うようなことの「逆」を考えてみるのは面白いですね。
数学の教科書に載ってる「公式」や「定理」はきっちりしていて、
まるで世界の初めから存在していたようにも思えますが、
それは誰かが計算したものであり、言ってみれば無数の試行錯誤が裏にあります。
成功の裏には、もっといっぱいの失敗や誤解があった、って感じですね。
中には見当違いな考えもいっぱいあったかもですが、それによって深まった所もあるかもしれません。
そう考えるといろんな考えややり取り、挑戦（ちょうせん）は、そうそう無駄ではないかもしれません。
なので。
もしあなたが勉強で、教科書とはちょっと違う何かが気になったとしたら。
それをすぐに「無駄だ」と思わず、ちょっと考えたりしてみると、
意外と面白い発見や、理解につながるかもしれませんね。
まあそんな感じで～。
*1:「倍数（ばいすう）」や「約数（やくすう）」」、「最小公倍数（さいしょうこうばいすう）」、「最大公約数（さいだいこうやくすう）」については 12/22 数＋英：約分（やくぶん）／奴の名はディバイザー！ - のっぽさんの勉強メモ を参照。
