数学＋ゲームの話ー。
サイコロ*1の数字の揃いやすさを計算してみた話です。
思い付きなので雑ですが。
前置き。
私事ですが、筆者がやっているゲームで「サイコロ」を使うゲームがありまして。
で、そこでサイコロの数字が揃うといいことが起きたりします。
例えば２個サイコロを振って「６」「６」が出るとか３個サイコロを降って「６」「５」「６」とかですね。
レベルアップと共にサイコロが増えていき、ぞろ目も出やすくなったりします。
確率*2が上がるわけですね。
で、「サイコロが増えると、どれくらい数字は揃いやすくなるのか？」というのが気になったので、
これを数学的に考えてみることにしました。
※
まず普通の「６面体のサイコロ」を「２つ」振った時のことを考えてみましょう。
この時に出る目の組み合わせは、「１～６」と「１～６」の組み合わせなので、
６×６＝３６、全部で３６通りあります。
で、この状態で数字が揃うためには「１ー１」とか「２－２」しかありませんので、
「１－１」「２－２」「３－３」「４－４」「５－５」「６－６」の６通りですね。
これを確率にすると６÷３６＝６／３６＝１／６なので、「１／６」の確率となります。
※
では６面体のサイコロを１個増やし、「３個」降ってみた場合はどうでしょうか？
まず数の組み合わせは「６通り×６通り×６通り」なので６×６×６＝「２１６」通りとなります。
その中で数をそろえるわけですが、今度は３個のうち２個のサイコロの数字が揃っていればいいので、
それぞれサイコロをＡ、Ｂ、Ｃと呼ぶとすると
①サイコロＡとサイコロＢの数が揃っている
①サイコロＡとサイコロＣの数が揃っている
①サイコロＢとサイコロＣの数が揃っている
という場合があり得ます。
全部確率で計算できる気もしますが、筆者は数学は苦手なので、ちょっと図にして考えてみます。
数の組み合わせとしては例えば、
１１１ …〇 揃っている
１１２ …〇 揃っている
１１３ …〇 揃っている
１１４ …〇 揃っている
１１５ …〇 揃っている
１１６ …〇 揃っている
１２１ …〇 揃っている
１２２ …〇 揃っている
１２３ …× 揃っていない
１２４ …× 揃っていない
１２５ …× 揃っていない
１２６ …× 揃っていない
…
…みたいな組み合わせがいっぱいあるわけですね。
「１１〇」など、サイコロＡとＢの数字が揃っている場合は、サイコロＣの数が何であれ、２つ揃っていることになります。
それ以外の「１２〇」などの場合は、「１２２」など、サイコロＢとＣの数が同じ時には揃っている扱いですね。
上の図では「１１〇」の時は「６通り」そろっており、「１２〇」の時は「２通り」揃っています。
多分これは「１３〇」でも「１４〇」でも同じようになっていくと思われます。
そうすると、サイコロＡの「１」から始まる組み合わせで、数字が２つ揃っている場合は
「１１〇」…６通り揃っている
「１２〇」「１３〇」「１４〇」「１５〇」「１６〇」…それぞれ２通り揃っている
と思われます。
すると合計では６＋２＋２＋２＋２＋２＝「１６通り」揃っていると思われます。
これは最初の数字が「２」でも「３」でも同じだとすると（「２○○」「３○○」）、つまりこれが６パターンあるので、
１６×６＝９６、つまり「９６通り」で数字が揃っているのでは、という仮説が成り立ちます。
サイコロ３個の時の全体の組み合わせは、上で計算した通り「２１８通り」ですので、
「サイコロ３個降って２個の数字が揃う」確率は
９６÷２１８＝９６／２１６＝４／９
つまり「４／９」の確率だと思われます。
２つ振った時に数字が揃う確率が「１／６」なので、揃えて比べると
サイコロ２つの時 …３／１８（１／６）
サイコロ３つの時 …８／１８（４／９）
って感じですかね。２倍以上に確率が上がっています。
筆者が計算したので、ミスもあるかもですが。
だから日常生活にどう、という訳ではありませんが、
たまにはこういうものを自分で計算してみるのも面白いものです。
あえて言うなら、高校受験では「確率」や「場合の数」はよく出てきますので、自分で考える癖*3をつけると役には立ちますが。
また「重複（じゅうふく）」などの問題もありますので、結構勉強になったりします。
年末年始は「宝くじ」や「福袋」などもありますので、
その確率を計算してみる、というのも面白いかもしれません。
まあそんな感じで～。
*1:「サイコロ」については 3/14 こころの話：人生（じんせい）／君と道を行くＲＰＧ - のっぽさんの勉強メモ を参照。
*2:「確率（かくりつ）」については 4/19 数学：確率（かくりつ）の話メモ - のっぽさんの勉強メモ を参照。
*3:「癖（くせ）」については 1/7 国＋こころ：「７つ」は「個性（こせい）」があるものですか？ ～「癖（くせ）」と「個性」と「なくて七癖（ななくせ）」の話～ - のっぽさんの勉強メモ を参照。
