のっぽさんの勉強メモ

主に中学の学習内容と、それに絡みそうな色んなネタを扱っています。不定期更新ですー。あ、何か探したいことがある場合は、右の「検索」や記事上のタグやページ右にある「カテゴリー」から関係ある記事が見られたりします。

12/11 数+ゲーム:確率/1つサイコロが増えるとどれだけ変わる?

数学+ゲームの話ー。

サイコロ*1の数字の揃いやすさを計算してみた話です。

思い付きなので雑ですが。


前置き。

私事ですが、筆者がやっているゲームで「サイコロ」を使うゲームがありまして。
で、そこでサイコロの数字が揃うといいことが起きたりします。
例えば2個サイコロを振って「6」「6」が出るとか3個サイコロを降って「6」「5」「6」とかですね。
レベルアップと共にサイコロが増えていき、ぞろ目も出やすくなったりします。
確率*2が上がるわけですね。

で、「サイコロが増えると、どれくらい数字は揃いやすくなるのか?」というのが気になったので、
これを数学的に考えてみることにしました。


まず普通の「6面体のサイコロ」を「2つ」振った時のことを考えてみましょう。
この時に出る目の組み合わせは、「1~6」と「1~6」の組み合わせなので、
6×6=36、全部で36通りあります。

で、この状態で数字が揃うためには「1ー1」とか「2-2」しかありませんので、
「1-1」「2-2」「3-3」「4-4」「5-5」「6-6」の6通りですね。
これを確率にすると6÷36=6/36=1/6なので、「1/6」の確率となります。


では6面体のサイコロを1個増やし、「3個」降ってみた場合はどうでしょうか?

まず数の組み合わせは「6通り×6通り×6通り」なので6×6×6=「216」通りとなります。

その中で数をそろえるわけですが、今度は3個のうち2個のサイコロの数字が揃っていればいいので、
それぞれサイコロをA、B、Cと呼ぶとすると

①サイコロAとサイコロBの数が揃っている
①サイコロAとサイコロCの数が揃っている
①サイコロBとサイコロCの数が揃っている

 という場合があり得ます。
 全部確率で計算できる気もしますが、筆者は数学は苦手なので、ちょっと図にして考えてみます。


数の組み合わせとしては例えば、

111 …〇 揃っている
112 …〇 揃っている
113 …〇 揃っている
114 …〇 揃っている
115 …〇 揃っている
116 …〇 揃っている

121 …〇 揃っている
122 …〇 揃っている 
123 …× 揃っていない
124 …× 揃っていない
125 …× 揃っていない
126 …× 揃っていない

 …みたいな組み合わせがいっぱいあるわけですね。

「11〇」など、サイコロAとBの数字が揃っている場合は、サイコロCの数が何であれ、2つ揃っていることになります。
それ以外の「12〇」などの場合は、「122」など、サイコロBとCの数が同じ時には揃っている扱いですね。

上の図では「11〇」の時は「6通り」そろっており、「12〇」の時は「2通り」揃っています。
多分これは「13〇」でも「14〇」でも同じようになっていくと思われます。

そうすると、サイコロAの「1」から始まる組み合わせで、数字が2つ揃っている場合は

「11〇」…6通り揃っている
「12〇」「13〇」「14〇」「15〇」「16〇」…それぞれ2通り揃っている
と思われます。
すると合計では6+2+2+2+2+2=「16通り」揃っていると思われます。
これは最初の数字が「2」でも「3」でも同じだとすると(「2○○」「3○○」)、つまりこれが6パターンあるので、
16×6=96、つまり「96通り」で数字が揃っているのでは、という仮説が成り立ちます。

サイコロ3個の時の全体の組み合わせは、上で計算した通り「218通り」ですので、
「サイコロ3個降って2個の数字が揃う」確率は
96÷218=96/216=4/9
つまり「4/9」の確率だと思われます。
2つ振った時に数字が揃う確率が「1/6」なので、揃えて比べると

サイコロ2つの時  …3/18(1/6)
サイコロ3つの時  …8/18(4/9)


って感じですかね。2倍以上に確率が上がっています。
筆者が計算したので、ミスもあるかもですが。


だから日常生活にどう、という訳ではありませんが、
たまにはこういうものを自分で計算してみるのも面白いものです。
あえて言うなら、高校受験では「確率」や「場合の数」はよく出てきますので、自分で考える癖をつけると役には立ちますが。
「重複(じゅうふく)」などの問題もありますので、結構勉強になったりします。


年末年始は「宝くじ」や「福袋」などもありますので、
その確率を計算してみる、というのも面白いかもしれません。


まあそんな感じで~。

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