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のっぽさんの勉強メモ

主に中学の学習内容を扱っています。不定期更新ですー。

12/15 数学:角度(かくど)/三角形 内でも外でも 領土争い!? ~二つの角度の和~

 数学の話ー。俳句っぽいですが字あまりですね。
 「三角形」*1について現場でやった話を。


 過去記事で「内角の和」*2についてやりましたが
 三角形の内角の和は「180°」になります。
 (細かい理由は上手く説明できないので省略です、すみません。教科書*3をご覧ください)


 要は「三角形の内側の角は、足すと180°になるよ」ってことです。
 これはいつでも当てはまる法則で、180を越えたり、逆に少なかったりもしません。

 だからある意味これは「領土*4争い」「パワー*5の取り合い」にも似ています。

 三角形には3つの角があるわけですが、
 その「角」をそれぞれ人物として考えてみてください。
 現場ではトム・サム・キャシーって名前を付けてましたので、それで。
 (それぞれ角A・角B・角Cの象徴)

 トム(角A)のパワー(角度)が多かったら、その分、他の角度が減ります。
 「180°」というのが三角形のフルパワーであることは決まっているので
 例えばトム(角A)が「178°」とか取ると、残りは「2°」しか残っていません。
 なのでサム(角B)とキャシー(角C)で2°を分け合うことになり、
 多分角Bと角Cは「1°」ずつとか、「1.5°と0.5°」とかになります。


 逆に、トム(角A)がパワーを少なく取ってたら、その分他の二人が多くパワーを取りに来ます。
 「今回はみんな穏やかに30°ずつにしようね~」とかそういう世界ではないのです。
 弱肉強食*6です。隙を見せたら他がすぐに来るくらいガツガツしてます。

 なのでトム(角A)が「1°」しかとらなかったとしたら、
 あとの「179°」はサム(角B)とキャシー(角C)が全力で分けるわけです。
 それが「178:1」の比率になるかとか、あるいは二等分で「89.5°」になるかは分かりませんが。
 とにかく残った「179°」は全力で消費されつくし、分配されます。


 ちなみに「内角(ないかく)」と「外角(がいかく)」も「180°」を巡って似たようなことをやってます。
 こちらは「1対1」ですが。
 内角がでかくなれば外角は小さくなり、外角がでかくなれば内角が小さくなるような関係です。
 直線(ちょくせん)に対して半円(はんえん)の角度を分け合う/奪い合うようなことをやっています。

 で、これらの争い
 ①「三角形の中の争い(内角の分割)」
 ②「内角と外角の争い(半円の分割)」は
 実は「180°ーある角度」という式が同じだったりします。

 ①「180°―角A=角B+角C」であり、
 ②「180°―角A(内角)=角Aの外角」という感じで。

 なので①を変形しつつ②と合体*7させると

 「角B+角C=180°―角A(内角)=角Aの外角」

 ということになり、
 真ん中を省略すると、教科書に載っている

 「角B+角C=角Aの外角」という公式*8ができたりします。

 まあここら辺は難しいので図を見ながら考えてみるとよいかもしれません。



 まあそんな感じで~。


追記
 過去記事で外角が「1°」になっている時のことを書きましたが
 その時、(その外角Aに対する)内角Aに余りのパワーが全部行くので、内角Aは「179°」ということになります。
 逆に本文でも書いたある内角Aが「1°」や「2°」になっている場合は、
 その分、外角Aが大きくなって「179°」や「178°」になっていることでしょう。

 ここら辺の内角や外角の関係を表にすると以下の感じかと。
(ちなみにどこでも内角+外角=180°、内角A+B+C=180°の関係になっています。
 いちいち書くのは面倒なので略しますが)


 【正三角形】
 内角A:60° 外角A:120° 
 内角B:60° 外角B:120°
 内角C:60° 外角C:120°


 【直角二等辺三角形
 内角A:90° 外角A:90°
 内角B:45° 外角B:135°
 内角C:45° 外角C:135°

 【差が激しい三角形】
 内角A:178° 外角A:2°
 内角B:1°   外角B:179°
 内角C:1°   外角C:179°


 ちなみに内角と外角は180°を「2つ」で分け合うのに対し、
 内角ABCは「3つ」で分け合っています。
 なので、「内角も外角も全部同じ数字*9になった」ということは基本的にはないかと思います。
 内角が60°で綺麗に揃う正三角形の時でさえ、外角は120°でしたし。
 (というか過去記事でも書いたように外角の合計は360°ですし、そもそも全体の大きさが違うんですね。
 ちなみに上に挙げた数字でも、外角の合計はどれも360°になります。
 興味が湧いたら試してみてください。)



benkyoumemo.hatenablog.com


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*1:「三角形(さんかっけい)」「内角(ないかく)」「外角(がいかく)」については 1/18 算数+英:図形/「3+3=4」のフシギな計算! - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*2:「内角の和」については11/16 数学:図形/この内角の和は「180000°」!? ~(n-2)を使って遊ぶ話~ - のっぽさんの勉強メモを参照。

*3:「教科書(きょうかしょ)」については 12/1 英語:比較級・最上級って便利よね、という話 - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*4:「領土(りょうど)」については 4/24 英語:お遊び/中二病的な英文例 ~あいつは魔王で魔眼使い~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*5:「パワー」「力」については 3/6 理科:「力(ちから)」関係の英語 - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*6:「弱肉強食(じゃくにくきょうしょく)」については 1/22 理科:すごいよ!太陽さん ~理科の教科書を貫く用語~ - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*7:「合体(がったい)」については 6/26 英語:似た言葉比べ/「合成」・「合体」・「融合」 - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*8:「公式(こうしき)」については 12/16 地理:「そこどんな土地なのさー」って想像する - のっぽさんの勉強メモ を参照。

*9:「数字(すうじ)」については1/5 数学:なぜ「1+1=2」ができるのか(雑考) - のっぽさんの勉強メモを参照。